Konvolúció

A konvolúció a jelfeldolgozás egyik legelemibb művelete. Ez a lineáris művelet két függvényből állít elő egy harmadikat. Legegyszerűbben úgy szemléltethető a konvolúció, mint egy adatsorozat (egyik függvényből vett minta) súlyozott mozgó átlagának számítása egy adott súlyfüggvény (a másik függvényből vett minta) alapján.

Alapvető tulajdonságok

Az [math]f[/math] és [math]g[/math] függvények konvolúcióját [math]f * g[/math]-vel jelöljük. A „csillag” műveleti jel nem tévesztendő össze a szorzást jelölő ponttal. A hasonlóság azért nem véletlen, mert konvolúció alaptulajonságai megegyeznek a szorzáséval:

• [math]f * g = g * f[/math]
• [math]f * (g + h) = f * g + f * h[/math]

Matematikai leírása

Tekintettel arra, hogy a konvolúció fogalmával a rádióamatőr gyakorlatban csak diszkrét idejű rendszerekben találkozunk, így a matematikai definícióját is erre korlátozzuk.

Vegyünk egy jelfolyamot, melynek pillanatértékei g(m) pontokból állnak. Továbbá egy áramköri egységet, amely a konvolúciót elvégzi. Ennek az áramköri egységnek a konvolúció elvégzéséhez f(1)...f(n) konstans együtthatók állnak rendelkezésre. Ekkor a konvolúció leírható az alábbiak szerint:

[math](f * g)(m) = \sum_n {f(n) \cdot g(m - n)} \,[/math]

ahol:

g (mint gerjesztés): a beérkező jel mintái, az elemi mintákat g(m) jelöli.

f: belső függvény, f(1) ... f(n)-nel jelölve a „mintáit”, tehát egy n hosszú konstans vektor (--> ezt határozza meg az eszköz funkcióját - lásd később).

f * g: a konvolúció eredménye, (f * g)(m) az eredményül kapott elemi mintákat jelöli

Példák

Nézzünk két egyszerű példát a konvolúció műveletére.

A bemeneti jelnek (g) vegyünk egy feszültségugrást az n=1 időpillanatban:

n	0	1	2	3	4
g(n)	0	1	1	1	1

n<0 esetén g(n)=0, n>4 esetén pedig g(n)=1.

Az első példában legyenek az f értékei:

n	0	1	2	3	4
f(n)	0	-1	0	0	0

n<0 és n>4 esetén f(n)=0.

A kimeneti jel (h=f*g) értékeit a következőképpen kapjuk:

• h(0) = f(0) g(0) + f(1) g(-1) + f(2) g(-2) + f(3) g(-3) + f(4) g(-4) = 0
• h(1) = f(0) g(1) + f(1) g(0) + f(2) g(-1) + f(3) g(-2) + f(4) g(-3) = 0
• h(2) = f(0) g(2) + f(1) g(1) + f(2) g(0) + f(3) g(-1) + f(4) g(-2) = -1
• h(3) = f(0) g(3) + f(1) g(2) + f(2) g(1) + f(3) g(0) + f(4) g(-1) = -1
• h(4) = f(0) g(4) + f(1) g(3) + f(2) g(2) + f(3) g(1) + f(4) g(0) = -1

Dőlttel azok a tagok vannak kiemelve, ahonnan nullától eltérő érték származik az összegbe.

Az eredmény tehát:

n	0	1	2	3	4
h(n)	0	0	-1	-1	-1

A kimeneti jelsorozat ebben a példában a bemeneti jel egy időegységgel késleltetett és fázisfordított változata. Ezt az alábbi ábrán lehet szemléltetni (az egyszerűség kedvéért folytonos vonallal ábrázolva a diszkrét értékeket és a két függvényt függőlegesen eltolva):

Az második példához már kicsit összetettebb f függvényt választunk:

n	0	1	2	3	4
f(n)	0.6	0.3	0.1	0	0

n<0 és n>4 esetén f(n)=0.

A kimeneti jel (h=f*g) értékeit a következőképpen kapjuk:

• h(0) = f(0) g(0) + f(1) g(-1) + f(2) g(-2) + f(3) g(-3) + f(4) g(-4) = 0
• h(1) = f(0) g(1) + f(1) g(0) + f(2) g(-1) + f(3) g(-2) + f(4) g(-3) = 0.6
• h(2) = f(0) g(2) + f(1) g(1) + f(2) g(0) + f(3) g(-1) + f(4) g(-2) = 0.9
• h(3) = f(0) g(3) + f(1) g(2) + f(2) g(1) + f(3) g(0) + f(4) g(-1) = 1
• h(4) = f(0) g(4) + f(1) g(3) + f(2) g(2) + f(3) g(1) + f(4) g(0) = 1

Most az eredmény:

n	0	1	2	3	4
h(n)	0	0.6	0.9	1	1

A minták kicsit száma (5) ellenére látszik, hogy a kimeneti jel lassabban éri el az 1-et, mint a bementi. A konvolúció ezekkel az együtthatókkal tehát úgy viselkedik, mint egy aluláteresztő szűrő.

Ezzekkel a példákkal egyben a FIR szűrő működését is illusztráltuk.

Alkalmazások

Diszkrét idejű jelfeldolgozás terén

A konvolúció leg elterjedtebb alkalmazása a digitális szűrőkben található. Megfelelő konstans vektor alkalmazásával érjük el a különböző karakterisztikákat. A konstansok kiszámításához az interneten jobbnál-jobb szűrőtervező szoftverek találhatók. Az algoritmus implementálható jelfeldolgozó processzorokban és mikrovezérlőkben is, de nagysebességű jelfeldolgozás vagy egyéb praktikus szempontok esetén gyakran implementálják FPGA-ban is. Gyengébb minőséget megkövetelő esetben akár nagyobb CPLD-ben is.

Processzoros áramkörben (mikrovezérlő, DSP, személyi számítógép) történő implementálásnál nagy előny, ha a processzor gyors szorzóáramkörrel rendelkezik illetve az is előny, ha hardverből támogatja a ciklikus puffereket. Ezáltal sokkal kevesebb órajel „elpazarlásával” végezhető el a művelet, vagy másszóval sokkal több minta feldolgozható ugyanakkora órajellel járó processzort tartalmazó áramkörrel.

A szűrőelrendezéseket csoportosítása

• bemenetek száma szerint egy vagy több bemenettel rendelkező
• kimenetek száma szerint egy vagy több kimenettel rendelkező

Alapból az egyetlen bemenettel és egyetlen kimenettel rendelkező szűrőkkel foglalkozunk, ezekből az alappéldákból levezethetőek a több bemenetű illetve több kimenetű elrendezések.

Elemi szűrőimplementációk

• FIR szűrő (Finite Impulse Response) - véges impulzusválaszú szűrő
• IIR szűrő (Infinite Impulse Response) - végtelen impulzusválaszú szűrő (Butterworth, Chebishev, Cauer szűrők)

Mi valósítható meg velük?

• Aluláteresztő szűrő (LP filter)
• Felüláteresztő szűrő (HP filter)
• Sáváteresztő szűrő (BP filter)
• Sávzáró szűrő (Notch filter)
• Fázistoló (Delay)
• Hilbert transzformátor (fontos szerepe van az SSB jel demodulásánál)
• Rezonátor (IIR elrendezés megfelelő együtthatók esetén történő gerjedését használja ki)

Egy speciális, úgynevezett átlapolt összeadásos konvolúció az FFT (gyors Fourier transzformáció) eljárás is, amely szintén a legfontosabb jelfeldolgozó algoritmusok egyike. Segítségével apró frekvenciatartományonként vizsgálható az amplitudó és fázis a vizsgált mintában, illetve az elemi amplitudók és fázisok tetszőleges módosítása után a Fourier transzformált jelet visszalakakítva jellé, tetszőleges jelet előállíthatunk a bemenőjelből.

Kétállapotú értékkészlet esetén

Érdemes megemlékezni egy másik igen fontos alkalmazási területről is, ahol a sokbites, finom (analógot reprezentáló) értékkészlet helyett kétállapotú (bináris) formáját használjuk a jelnek. Ilyen bináris alkalmazások a konvolúciós hibajavító eljárások.