Fourier transzformáció

Innen: HamWiki
A lap korábbi változatát látod, amilyen HG2ECZ (vitalap | közreműködések) 2006. június 28., 08:33-kor történt szerkesztése után volt.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Fourier-transzformáció felhasználása

A jelet vizsgálhatjuk időtartományban is, azonban az áramkörök jelentős része frekvenciafüggő jelleget mutat. További fontos érv a frekvenciatartománybeli viselkedés megismeréséhez, hogy segítségével érdekes transzformációk végezhetők el a jelen.

Például: egy négyszögjelből lehet-e kis torzítású színuszjelet csinálni?

Igen. A négyszögjel Fourier-sora [math]f(x)=\frac{4}{\pi}\Big( sin(x)+\frac{1}{3}sin(3x)+\frac{1}{5}sin(5x)+\frac{1}{7}sin(7x)+\dots \Big)[/math]

Gnuplot Plot

A fenti Fourier sorból és a mellékelt ábrából látható, amennyiben beépítünk a jelútba egy olyan aluláteresztő szűrőt, amely a négyszögjel alapfrekvenciájának 3-szorosát már nem engedi át, akkor színuszjelet kapunk.

További érdekes alkalmazása a szűrések és kiemelések. Azaz például egy hangfrekvenciás jelből egy sípolást el szeretnénk nyomni, vagy pedig egy bizonyos frekvenciatartományt fel szeretnénk hangosítani.

Folytonos Fourier transzformáció

Egy jel Fourier transzformáltját az alábbi összefüggéssel kaphatjuk:

[math]f \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F\left( \omega\right) e^{i\omega t}\,d\omega[/math]

A fenti összefüggésnél a [math]e^{i\omega t}=cos(\omega t)+j \cdot sin(\omega t)[/math], az [math]F\left( \omega\right)[/math] pedig a komplex amplitudó.

Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT)

Az előző részben ismertetett folytonos Fourier transzformáció szép, azonban a gyakorlatban, mivel diszkrét idejű jelekkel dolgozunk, a transzformációt is ennek megfelelően egyszerűsítjük. Az alábbi összefüggéssel tehát az elemi színuszos komponensek számíthatóak ki.

[math]X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n}[/math]

A jelet pedig visszaállíthatjuk az egyes színuszos oszcillátorok jeleinek összegeként:

[math]x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i 2 \pi \frac{k}{N} n} \quad \quad n = 0, 1, \dots, N-1 \,[/math]

Fast Fourier Transformáció

A gyors Fourier transzformáció eredménye egyezik a fenti DFT eredményével, azonban a művelethez szükséges idő nem N2, hanem N*log(N), ami például egy 1024 pontos transzformációnál 300-szor gyorsabb számítást jelent.

Az FFT egyetlen korlátja, hogy a pontszám nem lehet tetszőleges, például nem lehet 1000 pontos, csak 2 valamely hatványa lehet. Azonban az említett sebességnövekedés miatt ezt a kompromisszumot elfogadjuk.

FFT megvalósítása

FFT-t kétféleképpen csinálhatunk. Vagy letöltjük a http://www.fftw.org -ról az FFT függvénykönyvtárat, vagy saját magunk írunk egy FFT algoritmust.

Az alábbiakban egy rádióamatőr célokra igen jól felhasználható FFT számító példa kerül ismertetésre.

-- folyt köv --