Logaritmikus egységek

Az embereknek természetes a lineáris ábrázolás. Ez azt jelenti, hogy ami 10-szer messzebb van, azt 10 egység távolságra rajzolom, ami 100 egység távolságra, azt 100 egység távolságra rajzolom.

Műszaki gyakorlatban azonban ez nem mindig praktikus. Talán a leg szemléletesebb érv az értéktartomány tágassága. Elegendő arra gondolni, hogy egyetlen grafikonon szeretnénk ábrázolni egy erősítő esetén például egy olyan görbét, amely vízszintes tengelyére a bemenő amplitúdót szeretnénk ábrázolni 1 mikrovolt és 10 millivolt közt, a függőleges tengelyén pedig a kimenetét 1 millivolt és 10 volt közt.

Látható, hogy az ábrán a kis értékek nem lesznek láthatóak, a nagy értékek pedig felesleges részletességgel láthatóak. Ugyanis 1 mV és 10 mV közt jobban érdekel minket a különbség, mint 980 mV és 990 mV közt.

Lineáris és logaritmikus ábrázolás

A fenti problémára a megoldás a logaritmikus ábrázolás. Ekkor az adott tengelyen a 10-szer akkora érték csak 1 egységnyi elmozdulást jelent, a 100-szoros 2 egységnyit, az 100-szeres 3 egységnyit, ...

A logaritmikus tér használata

A logaritmikus teret sok okból szeretjük. Egyrészt nincsenek benne olyan bődületes számok, mint a lineáris tér esetén. Ugyanakkor az arányokat szemléletesebben kifejezi, mivel a logaritmikus térben 200 mW és 800 mW közt ugyanakkora a különbség, mint 20 W és 80 W között.

A logaritmikus térben végzett műveletek és lineáris térben gyakorolt hatásuk:

• Két logaritmus érték összeadása a lineáris térbeli szorzásnak felel meg.
• Két logaritmikus érték szorzása, lineáris térben hatványozásnak (szám^X) felel meg.
• Két logaritmikus érték osztása pedig a számlálóban levő szám nevezőedik gyökét adja. Például ha a logaritmikus számot elosztjuk 2-vel, az a lineáris térben a négyzetgyökvonás művelete.
• Ha a logaritmikus érték előjelét megfordítjuk, akkor lineáris térben 10^X alakban felírt szám 10^-X -re változik.

Tehát elmondható, hogy a logaritmikus tér közelebb hozza a nagy értékeket egymáshoz, az értékeknek nem a nagyságukra, hanem arányukra koncentrál. A lineáris térben végzett szorzás és osztás műveletek logaritmikus térben összeadásra illetve kivonásra cserélődnek, a hatványozás és gyökvonás pedig szorzásra illetve osztásra.

A decibel

A logaritmikus tér leg ismertebb felhasználási területe a decibel skála. A decibel önmagában szintén egy puszta arányt mutat. Például a 3 dB teljesítménynövekedés azt jelenti, hogy valaminek a teljesítménye duplájára nőtt. A -3 dB pedig azt, hogy a teljesítmény a viszonyításhoz képest felére csökkent.

Képlettel: A = 10*log(P₂/P₁), ahol A a logaritmikus érték, P₂ a teljesítmény, amit P₁-hez viszonyítunk.

Decibel feszültségre

Tekintettel arra, hogy [math]P=U*I=U*(U/R)=U^2/R[/math], amiből átrendezéssel [math]U=\sqrt{P*R}[/math] képlet jön ki. (U a feszültség, I az áram, R az ellenállás, P a teljesítmény).

Ez azt jelenti, hogy négyszeres teljesítménynövekedés esetén ugyanazon terhelés kapcsain dupla akkora feszültség jelentkezik, 100-szoros teljesítmény növekedéskor pedig csak 10-szeres feszültség.

Képlettel: A = 20*log(U₂/U₁), ahol A a logaritmikus érték, U₂ a teljesítmény, amit U₁-hez viszonyítunk.

Megjegyzés: ugyanabban az esetben a fenti, teljesítményre vonatkoztatott A arány és a feszültségre vonatkoztatott A értéke ugyanaz az érték.

Néhány dB érték teljesítményre és feszültségre

dB	teljesítményarány	feszültségarány
0 dB	1	1
3 dB	2	[math]\sqrt{2} = 1,414[/math]
6 dB (3+3)	4 (2*2)	2
10 dB	10	[math]\sqrt{10} = 3,16[/math]
100 dB	100	10
Negatív értékekre
-3 dB	1/2	[math]1/\sqrt{2} = 0,707[/math]
-6 dB (-3 + -3)	1/4 (1/2*1/2)	1/2
-10 dB	0,1	[math]1/\sqrt{10} = 0,316[/math]
-100 dB	1/100	1/10

Néhány jó újjgyakorlat a fentiek alapján:

dB	teljesítményarány	feszültségarány
6 dB = 3+3	2*2=4	2
7 dB = 10-3	10/2 = 5	2,23 (3.16/1,41)
12 dB = 3+3+3+3	4*4 = 16	4
13 dB = 10+3	10*2	4,47 (3,16*1,414)
20 dB = 10+10	10*10 = 100	10
30 dB = 20+10	100*10 = 1000	31,6
36 dB = 20+10+3+3	100*10*2*2 = 4000	63,2
-36 dB = -20 + -10 + -3 + -3	1/100*1/10*1/2*1/2 = 1/4000 = 0.00025	1/63,2 = 0,0158

dBm (és dBu), dBµV, dBmV

A címben szereplő értékek dB-es arányszámmal ellátott mértékegységek.

• a dBm alapmértékegysége az a teljesítmény, amely 1 mW-ot jelent 600 ohm-ra viszonyítva. Az Ohm-törvény értelmében [math]U=\sqrt{P*R}=\sqrt{0.001 W *600}=\sqrt{0,6}=0,7746 V[/math]. A dBm származéka a dBu, amely terhelőimpedanciától függetlenül a 0,7746 V-ot veszi alapegységnek. Hang jelszinteknél használatos mértékegység.
• a dBµV az 1 mikrovoltra vonatkoztatott dB érték. Rádiófrekvencián ezt a mértékegységet használjuk. Alapértelmezetten 50 ohm-os impedanciára vonatkoztatva. A dBmV pedig az 1 mV-ra vonatkoztatott érték - rádiófrekvencián használatos, nagyobb jelek esetén. 1 dBmV = 60 dBµV. Ugyanígy a dBV-ot is alkalmazhatjuk, ahol az alapérték az 1 V.

Feszültség	dBu	dBV	dBmV	dBµV
1 mV	-57,8 dBu	-60 dBV	0 dBmV	60 dBµV
10 mV	-37,8 dBu	-40 dBV	20 dBmV	80 dBµV
100 mV	-17,8 dBu	-20 dBV	40 dBmV	100 dBµV
1 V	2,2 dBu	0 dBV	60 dBmV	120 dBµV
10 V	22,2 dBu	20 dBV	80 dBmV	140 dBµV

Ahogy létezik dBV (dBmV, dBµV), ugyanúgy használható a dBW (dBmW, dBµW) is. Ez esetben a viszonyítási alap az 1 W (1 mW, 1µW).

Például:

• 5 W a fenti táblázat alapján a 10 W fele, azaz 10-3= 7 dBW.
• 20 W a 10 W duplája, azaz 13 dBW
• 100 W a 10 W 10-szerese, azaz 20 dBW.
• A 0,5 W pedig az 1 W fele, azaz -3 dBW

Gyakorlati felhasználás

1. Példa: Egy 3 dBµV-ot szolgáltató antenna jelét 8 dB veszteségű kábelen hozzuk le, de előtte az antennánál elhelyezünk egy 25 dB-es előerősítőt. Mekkora jelszint lesz a koaxkábel alsó végén?

Megoldás: a csillapítást jelöljük negatív előjellel. Ekkor az eredő erősítés A=-8 dB + 25 dB = 17 dB. A jelszint pedig: U^dB=17+3=20 dBµV-os lesz. Ezt az értéket a decibelskáláról visszaszámolva 10 µV-ot kapunk.

2. Példa: Egy 7 dBW-os rádióvégfokra rákötünk 6 dB csillapítású kábelt, majd 8 dB nyereségű antennára vezetjük. Mekkora ERP-vel fog sugározni az antenna?

Megoldás: P^dB=7 dBW-4 dB + 9 dB = 12 dBW. Hogy kézzelfogható legyen, valós értékre is átszámolhatjuk. 12 dBW = 3+3+3+3 dB, tehát 2*2*2*2 = 16 W. Tehát a kérdéses ERP 16 W-ra jött ki.