Fourier transzformáció
Egy időben változó jel előállítható különböző freknvenciájú, fázisú és amplitúdójú jelek összegeként. A Fourier-transzformáció az a művelet, amely egy adott jelhez megadja ezt a felbontást. A Fourier-transzformáció inverze szolgál arra, hogy a frekvencia spektrumból (frekvenciatartomány) megadja az időfüggő jelet (időtartomány).
A Fourier-transzformáció ismerete alapvető fontosságú a lineáris rendszerek tulajdonságainak vizsgálatához. Mivel az áramkörök jelentős része frekvenciafüggő jelleget mutat, ezért a frekvenciatartománybeli viselkedés sokszor könnyebben leírható, mint az időtartománybeli.
Tartalomjegyzék
A Fourier-transzformáció felhasználása
Egy fontos alkalmazás különféle transzformációk elvégezése a jelen.
Például: egy négyszögjelből lehet-e kis torzítású színuszjelet csinálni?
Igen. A négyszögjel Fourier-sora [math]f(t)=\frac{4}{\pi}\Big( \sin(\omega t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega t)+\frac{1}{5}\sin(5\omega t)+\frac{1}{7}\sin(7\omega t)+\dots \Big)[/math]
A fenti Fourier sorból és a mellékelt ábrából látható, amennyiben beépítünk a jelútba egy olyan aluláteresztő szűrőt, amely a négyszögjel alapfrekvenciájának 3-szorosát már nem engedi át, akkor színuszjelet kapunk.
További érdekes alkalmazása a szűrések és kiemelések. Azaz például egy hangfrekvenciás jelből egy sípolást el szeretnénk nyomni, vagy pedig egy bizonyos frekvenciatartományt fel szeretnénk hangosítani.
Rádiófrekvenciás jel esetén a Fourier transzformáció legfontosabb alkalmazása az OFDM jel demodulálása során kerül előtérbe, ahol a sok vivőfrekvenciát nem sok digitális szűrővel választjuk szét, hanem egyetlen Fourier transzformációval.
Folytonos Fourier transzformáció
Egy jel Fourier transzformáltja az a jel, amin ha elvégezzük az alább látható inverz-Fourier transzformációt, visszakapjuk a jelet:
[math]f \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F\left(j\omega\right) e^{j\omega t}\,d\omega[/math]
Tehát a Fourier transzformáció:
[math]F \left( j\omega \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f\left( t \right) e^{-j\omega t}\,dt[/math]
Ha már ilyen szép integráloknál tartunk, fontos megemliteni, hogy ez csak akkor végezhető el, ha a jel abszolút vagy négyzetesen integrálható. Tehát véges az energiatartalma. Megjegyzés: nem véges energiatartalmú jeleknek is létezhet Fourier transzformáltja, de azt nem ezzel az integrállal kell előállitani.
A fenti összefüggésnél a [math]e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j \cdot \sin(\omega t)[/math], az [math]|F\left(j \omega\right)|[/math] az amplitudóspektrum, az [math]arc(F(j\omega))[/math] pedig a fázisspektrum.
A Fourier transzformált előállitására egy kellemesebb módszer azt egy táblázatból kikeresni. Ebben az angol nyelvű wikipedia egy cikke nagyon hasznos segitségnek bizonyult. Ugyanitt vannak táblázatba foglalva a Fourier transzformáció azonosságai.
DFT
Diszkrét Fourier Transzformáció: az előző részben ismertetett folytonos Fourier transzformáció szép, azonban a gyakorlatban, mivel diszkrét idejű jelekkel dolgozunk, a transzformációt is ennek megfelelően egyszerűsítjük. Az alábbi összefüggéssel tehát az elemi színuszos komponensek számíthatóak ki.
[math]X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-j 2 \pi \frac{k}{N} n}[/math]
- ahol
- N: a minta adatblokkjának elemszáma, amire a DFT-t el kívánjuk végezni.
- k az egyik alkotó frekvenciával arányos konstans. Frekvenciában kifejezve: k = N * frekvencia/mintavételi_sebesség
- e-j valami - rádióamatőrök között kevésbé közismert matematikai kifejezés a cos(valami) - j*sin(valami) kifejezésére, amely a komplex számok témaköre.
- 2π pedig azért szerepel itt, hiszen 2π radián egy teljes kör.
A spektrális felbontás számhalmazából a jelet visszaállíthatjuk az egyes színuszos oszcillátorok jeleinek összegeként:
[math]x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi \frac{k}{N} n} \quad \quad n = 0, 1, \dots, N-1 \,[/math]
FFT
A gyors Fourier transzformáció (Fast Fourier Transform) eredménye egyezik a fenti DFT eredményével, azonban a művelethez szükséges számítási teljesítmén sokkal sokkal kevesebb. Azaz:
- DFT esetén a számítás lépésszáma: N2 * (tmul + tadd)
- FFT esetén ugyanez a számítás N*log2(N) * (tmul/2 + tadd) lépésszámból teljesíthető.
ami például egy 1024 pontos transzformációnál nagyságrendileg 1 / 1000 -szer kisebb processzorteljesítmény felhasználását teszi szükségessé.
Az FFT egyetlen korlátja, hogy a pontszám nem lehet tetszőleges, például nem lehet 1000 pontos, csak 2 valamely hatványa lehet. Azonban az említett sebességnövekedés miatt ezt a kompromisszumot elfogadjuk. Kivéve, ha csak kevés spektrumvonalra kell szétbontani. Ilyen, kevés spektrumvonalat igénylő felbontás a DTMF, ahol mindössze 8 spektrumvonal érdekel bennünket, illetve az AFSK, ahol pedig csak kettő frekvencia energia-aránya érdekel bennünket.
FFT megvalósítása
FFT-t kétféleképpen csinálhatunk. Vagy letöltjük a http://www.fftw.org -ról az FFT függvénykönyvtárat, vagy saját magunk írunk egy FFT algoritmust.
Az alábbiakban egy rádióamatőr célokra igen jól felhasználható FFT számító példa kerül ismertetésre.
-- folyt köv --