„Fourier transzformáció” változatai közötti eltérés
a |
|||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | Egy időben változó [[A jel matematikai leírása|jel]] előállítható különböző freknvenciájú, fázisú és amplitúdójú jelek összegeként. A '''Fourier-transzformáció''' az a művelet, amely egy adott jelhez megadja ezt a felbontást. A Fourier-transzformáció inverze szolgál arra, hogy a frekvencia spektrumból (''frekvenciatartomány'') megadja az időfüggő jelet (''időtartomány''). | ||
+ | |||
+ | A Fourier-transzformáció ismerete alapvető fontosságú a lineáris rendszerek tulajdonságainak vizsgálatához. Mivel az áramkörök jelentős része frekvenciafüggő jelleget mutat, ezért a frekvenciatartománybeli viselkedés sokszor könnyebben leírható, mint az időtartománybeli. | ||
+ | |||
== A Fourier-transzformáció felhasználása == | == A Fourier-transzformáció felhasználása == | ||
− | Egy | + | Egy fontos alkalmazás különféle transzformációk elvégezése a jelen. |
'''Például:''' egy négyszögjelből lehet-e kis torzítású színuszjelet csinálni? | '''Például:''' egy négyszögjelből lehet-e kis torzítású színuszjelet csinálni? | ||
30. sor: | 34. sor: | ||
Egy jel Fourier transzformáltját az alábbi összefüggéssel kaphatjuk: | Egy jel Fourier transzformáltját az alábbi összefüggéssel kaphatjuk: | ||
− | <math>f \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F\left( \omega\right) e^{ | + | <math>f \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F\left( \omega\right) e^{j\omega t}\,d\omega</math> |
− | A fenti összefüggésnél a <math>e^{ | + | A fenti összefüggésnél a <math>e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j \cdot \sin(\omega t)</math>, az <math>F\left( \omega\right)</math> pedig a [[Komplex számábrázolás|komplex]] amplitudó. |
== Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT) == | == Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT) == | ||
38. sor: | 42. sor: | ||
Az előző részben ismertetett folytonos Fourier transzformáció szép, azonban a gyakorlatban, mivel diszkrét idejű jelekkel dolgozunk, a transzformációt is ennek megfelelően egyszerűsítjük. Az alábbi összefüggéssel tehát az elemi színuszos komponensek számíthatóak ki. | Az előző részben ismertetett folytonos Fourier transzformáció szép, azonban a gyakorlatban, mivel diszkrét idejű jelekkel dolgozunk, a transzformációt is ennek megfelelően egyszerűsítjük. Az alábbi összefüggéssel tehát az elemi színuszos komponensek számíthatóak ki. | ||
− | <math>X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{- | + | <math>X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-j 2 \pi \frac{k}{N} n}</math> |
A jelet pedig visszaállíthatjuk az egyes színuszos oszcillátorok jeleinek összegeként: | A jelet pedig visszaállíthatjuk az egyes színuszos oszcillátorok jeleinek összegeként: | ||
− | <math>x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{ | + | <math>x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi \frac{k}{N} n} \quad \quad n = 0, 1, \dots, N-1 \,</math> |
== Fast Fourier Transformáció (FFT) == | == Fast Fourier Transformáció (FFT) == |
A lap 2006. július 6., 11:52-kori változata
Egy időben változó jel előállítható különböző freknvenciájú, fázisú és amplitúdójú jelek összegeként. A Fourier-transzformáció az a művelet, amely egy adott jelhez megadja ezt a felbontást. A Fourier-transzformáció inverze szolgál arra, hogy a frekvencia spektrumból (frekvenciatartomány) megadja az időfüggő jelet (időtartomány).
A Fourier-transzformáció ismerete alapvető fontosságú a lineáris rendszerek tulajdonságainak vizsgálatához. Mivel az áramkörök jelentős része frekvenciafüggő jelleget mutat, ezért a frekvenciatartománybeli viselkedés sokszor könnyebben leírható, mint az időtartománybeli.
Tartalomjegyzék
A Fourier-transzformáció felhasználása
Egy fontos alkalmazás különféle transzformációk elvégezése a jelen.
Például: egy négyszögjelből lehet-e kis torzítású színuszjelet csinálni?
Igen. A négyszögjel Fourier-sora [math]f(t)=\frac{4}{\pi}\Big( \sin(\omega t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega t)+\frac{1}{5}\sin(5\omega t)+\frac{1}{7}\sin(7\omega t)+\dots \Big)[/math]
A fenti Fourier sorból és a mellékelt ábrából látható, amennyiben beépítünk a jelútba egy olyan aluláteresztő szűrőt, amely a négyszögjel alapfrekvenciájának 3-szorosát már nem engedi át, akkor színuszjelet kapunk.
További érdekes alkalmazása a szűrések és kiemelések. Azaz például egy hangfrekvenciás jelből egy sípolást el szeretnénk nyomni, vagy pedig egy bizonyos frekvenciatartományt fel szeretnénk hangosítani.
Rádiófrekvenciás jel esetén a Fourier transzformáció legfontosabb alkalmazása az OFDM jel demodulálása során kerül előtérbe, ahol a sok vivőfrekvenciát nem sok digitális szűrővel választjuk szét, hanem egyetlen Fourier transzformációval.
Folytonos Fourier transzformáció
Egy jel Fourier transzformáltját az alábbi összefüggéssel kaphatjuk:
[math]f \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F\left( \omega\right) e^{j\omega t}\,d\omega[/math]
A fenti összefüggésnél a [math]e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j \cdot \sin(\omega t)[/math], az [math]F\left( \omega\right)[/math] pedig a komplex amplitudó.
Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT)
Az előző részben ismertetett folytonos Fourier transzformáció szép, azonban a gyakorlatban, mivel diszkrét idejű jelekkel dolgozunk, a transzformációt is ennek megfelelően egyszerűsítjük. Az alábbi összefüggéssel tehát az elemi színuszos komponensek számíthatóak ki.
[math]X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-j 2 \pi \frac{k}{N} n}[/math]
A jelet pedig visszaállíthatjuk az egyes színuszos oszcillátorok jeleinek összegeként:
[math]x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi \frac{k}{N} n} \quad \quad n = 0, 1, \dots, N-1 \,[/math]
Fast Fourier Transformáció (FFT)
A gyors Fourier transzformáció eredménye egyezik a fenti DFT eredményével, azonban a művelethez szükséges idő nem N2, hanem N*log(N), ami például egy 1024 pontos transzformációnál 300-szor gyorsabb számítást jelent.
Az FFT egyetlen korlátja, hogy a pontszám nem lehet tetszőleges, például nem lehet 1000 pontos, csak 2 valamely hatványa lehet. Azonban az említett sebességnövekedés miatt ezt a kompromisszumot elfogadjuk.
FFT megvalósítása
FFT-t kétféleképpen csinálhatunk. Vagy letöltjük a http://www.fftw.org -ról az FFT függvénykönyvtárat, vagy saját magunk írunk egy FFT algoritmust.
Az alábbiakban egy rádióamatőr célokra igen jól felhasználható FFT számító példa kerül ismertetésre.
-- folyt köv --