„Logaritmikus egységek” változatai közötti eltérés

Innen: HamWiki
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
 
1. sor: 1. sor:
 +
Az embereknek természetes a lineáris ábrázolás. Ez azt jelenti, hogy ami 10-szer messzebb van, azt 10 egység távolságra rajzolom, ami 100 egység távolságra, azt 100 egység távolságra rajzolom.
 +
 +
Műszaki gyakorlatban azonban ez nem mindig praktikus. Talán a leg szemléletesebb érv az értéktartomány tágassága. Elegendő arra gondolni, hogy egyetlen grafikonon szeretnénk ábrázolni egy erősítő esetén például egy olyan görbét, amely vízszintes tengelyére a bemenő amplitúdót szeretnénk ábrázolni 1 mikrovolt és 10 millivolt közt, a függőleges tengelyén pedig a kimenetét 1 millivolt és 10 volt közt.
 +
 +
Látható, hogy az ábrán a kis értékek nem lesznek láthatóak, a nagy értékek pedig felesleges részletességgel láthatóak. Ugyanis 1 mV és 10 mV közt jobban érdekel minket a különbség, mint 980 mV és 990 mV közt.
 +
 
== Lineáris és logaritmikus ábrázolás ==
 
== Lineáris és logaritmikus ábrázolás ==
  
−
== A logaritmikus ábrázolás előnye ==
+
A fenti problémára a megoldás a logaritmikus ábrázolás. Ekkor az adott tengelyen a 10-szer akkora érték csak 1 egységnyi elmozdulást jelent, a 100-szoros 2 egységnyit, az 100-szeres 3 egységnyit, ...
 +
 
 +
<!-- kép kell ide - gnuplot-tal a lineáris és a logaritmikus átviteli görbéről. Pl. egy felül és egy aluláteresztő sorok kapcsolásáról -->
 +
 
 +
== A logaritmikus ''tér'' használata ==
 +
 
 +
A logaritmikus teret sok okból szeretjük. Egyrészt nincsenek benne olyan bődületes számok, mint a lineáris tér esetén. Ugyanakkor az arányokat szemléletesebben kifejezi, mivel a logaritmikus térben 200 mW és 800 mW közt ugyanakkora a különbség, mint 20 W és 80 W között.
 +
 
 +
A logaritmikus térben végzett műveletek és lineáris térben gyakorolt hatásuk:
 +
 
 +
* Két logaritmus érték összeadása a lineáris térbeli szorzásnak felel meg.
 +
* Két logaritmikus érték szorzása, lineáris térben hatványozásnak (szám<sup>X</sup>) felel meg.
 +
* Két logaritmikus érték osztása pedig a számlálóban levő szám nevezőedik gyökét adja. Például ha a logaritmikus számot elosztjuk 2-vel, az a lineáris térben a négyzetgyökvonás művelete.
 +
* Ha a logaritmikus érték előjelét megfordítjuk, akkor lineáris térben 10<sup>X</sup> alakban felírt szám 10<sup>-X</sup> -re változik.
 +
 
 +
Tehát elmondható, hogy a logaritmikus tér ''közelebb hozza'' a nagy értékeket egymáshoz, az értékeknek nem a nagyságukra, hanem arányukra koncentrál.
 +
A lineáris térben végzett szorzás és osztás műveletek logaritmikus térben összeadásra illetve kivonásra cserélődnek, a hatványozás és gyökvonás pedig szorzásra illetve osztásra.
  
 
== A decibel ==
 
== A decibel ==
 +
 +
A logaritmikus tér leg ismertebb felhasználási területe a decibel skála. A decibel önmagában szintén egy puszta arányt mutat. Például a 3 dB teljesítménynövekedés azt jelenti, hogy valaminek a teljesítménye duplájára nőtt. A -3 dB pedig azt, hogy a teljesítmény a viszonyításhoz képest felére csökkent.
 +
 +
Képlettel: A = 10*log(P<sub>2</sub>/P<sub>1</sub>), ahol A a logaritmikus érték, P<sub>2</sub> a teljesítmény, amit P<sub>1</sub>-hez viszonyítunk.
 +
 +
=== Decibel feszültségre ===
 +
 +
Tekintettel arra, hogy <math>P=U*I=U*(U/R)=U^2/R</math>, amiből átrendezéssel <math>U=\sqrt{P*R}</math> képlet jön ki. (U a feszültség, I az áram, R az ellenállás, P a teljesítmény).
 +
 +
Ez azt jelenti, hogy négyszeres teljesítménynövekedés esetén ugyanazon terhelés kapcsain dupla akkora feszültség jelentkezik, 100-szoros teljesítmény növekedéskor pedig csak 10-szeres feszültség.
 +
 +
Képlettel: A = 20*log(U<sub>2</sub>/U<sub>1</sub>), ahol A a logaritmikus érték, U<sub>2</sub> a teljesítmény, amit U<sub>1</sub>-hez viszonyítunk.
 +
 +
'''Megjegyzés:''' ugyanabban az esetben a fenti, teljesítményre vonatkoztatott A arány és a feszültségre vonatkoztatott A értéke ugyanaz az érték.
 +
 +
=== Néhány dB érték teljesítményre és feszültségre ===
 +
 +
{| border="1"
 +
! dB !! teljesítményarány || feszültségarány
 +
|-
 +
| 0 dB || 1 || 1
 +
|-
 +
| 3 dB || 2 || <math>\sqrt{2} = 1,414</math>
 +
|-
 +
| 6 dB (3+3) || 4 (2*2) || 2
 +
|-
 +
| 10 dB || 10 || <math>\sqrt{10} = 3,16</math>
 +
|-
 +
| 100 dB || 100 || 10
 +
|-
 +
! colspan=3 ! Negatív értékekre
 +
| -3 dB || 1/2 || <math>1/\sqrt{2} = 0,707</math>
 +
|-
 +
| -6 dB (-3 + -3) || 1/4 (1/2*1/2) || 1/2
 +
|-
 +
| -10 dB || 0,1 || <math>1/\sqrt{10} = 0,316</math>
 +
|-
 +
| -100 dB || 1/100 || 1/10
 +
|}
 +
 +
Néhány jó újjgyakorlat a fentiek alapján:
 +
 +
{| border="1"
 +
! dB !! teljesítményarány || feszültségarány
 +
|-
 +
|  6 dB = 3+3 || 2*2=4 || 2
 +
|-
 +
|  7 dB = 10-3|| 10/2 = 5 || 2,23 (3.16/1,41)
 +
|-
 +
| 12 dB = 3+3+3+3 || 4*4 = 16 || 4
 +
|-
 +
| 13 dB = 10+3 || 10*2 || 4,47 (3,16*1,414)
 +
|-
 +
| 20 dB = 10+10 || 10*10 = 100 || 10
 +
|-
 +
| 30 dB = 20+10 || 100*10 = 1000 || 31,6
 +
|-
 +
| 36 dB = 20+10+3+3 || 100*10*2*2 = 4000 || 63,2
 +
|-
 +
| -36 dB = -20 + -10 + -3 + -3 || 1/100*1/10*1/2*1/2 = 1/4000 = 0.00025 || 1/63,2 = 0,0158
 +
|}
 +
 +
== dBm (és dBu), dBµV, dBmV ==
 +
 +
A címben szereplő értékek dB-es arányszámmal ellátott mértékegységek.
 +
 +
* a dBm alapmértékegysége az a teljesítmény, amely 1 mW-ot jelent 600 ohm-ra viszonyítva. Az Ohm-törvény értelmében <math>U=\sqrt{P*R}=\sqrt{0.001 W *600}=\sqrt{0,6}=0,7746 V</math>. A dBm származéka a dBu, amely terhelőimpedanciától függetlenül a 0,7746 V-ot veszi alapegységnek. Hang jelszinteknél használatos mértékegység.
 +
* a dBµV az 1 mikrovoltra vonatkoztatott dB érték. Rádiófrekvencián ezt a mértékegységet használjuk. Alapértelmezetten 50 ohm-os impedanciára vonatkoztatva.
 +
* a dBmV pedig az 1 mV-ra vonatkoztatott érték - rádiófrekvencián használatos, nagyobb jelek esetén. 1 dBmV = 60 dBµV.
 +
 +
{| border="1"
 +
|-
 +
! Feszültség || dBu || dBV || dBmV || dBµV
 +
|- align="right"
 +
|  1 mV || -57,8 dBu || -60 dBV ||  0 dBmV || 60 dBµV
 +
|- align="right"
 +
|  10 mV || -37,8 dBu || -40 dBV || 20 dBmV || 80 dBµV
 +
|- align="right"
 +
| 100 mV || -17,8 dBu || -20 dBV || 40 dBmV || 100 dBµV
 +
|- align="right"
 +
|    1 V ||  2,2 dBu ||  0 dBV || 60 dBmV || 120 dBµV
 +
|- align="right"
 +
|  10 V ||  22,2 dBu ||  20 dBV || 80 dBmV || 140 dBµV
 +
|}

A lap 2006. június 16., 00:00-kori változata

Az embereknek természetes a lineáris ábrázolás. Ez azt jelenti, hogy ami 10-szer messzebb van, azt 10 egység távolságra rajzolom, ami 100 egység távolságra, azt 100 egység távolságra rajzolom.

Műszaki gyakorlatban azonban ez nem mindig praktikus. Talán a leg szemléletesebb érv az értéktartomány tágassága. Elegendő arra gondolni, hogy egyetlen grafikonon szeretnénk ábrázolni egy erősítő esetén például egy olyan görbét, amely vízszintes tengelyére a bemenő amplitúdót szeretnénk ábrázolni 1 mikrovolt és 10 millivolt közt, a függőleges tengelyén pedig a kimenetét 1 millivolt és 10 volt közt.

Látható, hogy az ábrán a kis értékek nem lesznek láthatóak, a nagy értékek pedig felesleges részletességgel láthatóak. Ugyanis 1 mV és 10 mV közt jobban érdekel minket a különbség, mint 980 mV és 990 mV közt.

Lineáris és logaritmikus ábrázolás

A fenti problémára a megoldás a logaritmikus ábrázolás. Ekkor az adott tengelyen a 10-szer akkora érték csak 1 egységnyi elmozdulást jelent, a 100-szoros 2 egységnyit, az 100-szeres 3 egységnyit, ...


A logaritmikus tér használata

A logaritmikus teret sok okból szeretjük. Egyrészt nincsenek benne olyan bődületes számok, mint a lineáris tér esetén. Ugyanakkor az arányokat szemléletesebben kifejezi, mivel a logaritmikus térben 200 mW és 800 mW közt ugyanakkora a különbség, mint 20 W és 80 W között.

A logaritmikus térben végzett műveletek és lineáris térben gyakorolt hatásuk:

  • Két logaritmus érték összeadása a lineáris térbeli szorzásnak felel meg.
  • Két logaritmikus érték szorzása, lineáris térben hatványozásnak (számX) felel meg.
  • Két logaritmikus érték osztása pedig a számlálóban levő szám nevezőedik gyökét adja. Például ha a logaritmikus számot elosztjuk 2-vel, az a lineáris térben a négyzetgyökvonás művelete.
  • Ha a logaritmikus érték előjelét megfordítjuk, akkor lineáris térben 10X alakban felírt szám 10-X -re változik.

Tehát elmondható, hogy a logaritmikus tér közelebb hozza a nagy értékeket egymáshoz, az értékeknek nem a nagyságukra, hanem arányukra koncentrál. A lineáris térben végzett szorzás és osztás műveletek logaritmikus térben összeadásra illetve kivonásra cserélődnek, a hatványozás és gyökvonás pedig szorzásra illetve osztásra.

A decibel

A logaritmikus tér leg ismertebb felhasználási területe a decibel skála. A decibel önmagában szintén egy puszta arányt mutat. Például a 3 dB teljesítménynövekedés azt jelenti, hogy valaminek a teljesítménye duplájára nőtt. A -3 dB pedig azt, hogy a teljesítmény a viszonyításhoz képest felére csökkent.

Képlettel: A = 10*log(P2/P1), ahol A a logaritmikus érték, P2 a teljesítmény, amit P1-hez viszonyítunk.

Decibel feszültségre

Tekintettel arra, hogy [math]P=U*I=U*(U/R)=U^2/R[/math], amiből átrendezéssel [math]U=\sqrt{P*R}[/math] képlet jön ki. (U a feszültség, I az áram, R az ellenállás, P a teljesítmény).

Ez azt jelenti, hogy négyszeres teljesítménynövekedés esetén ugyanazon terhelés kapcsain dupla akkora feszültség jelentkezik, 100-szoros teljesítmény növekedéskor pedig csak 10-szeres feszültség.

Képlettel: A = 20*log(U2/U1), ahol A a logaritmikus érték, U2 a teljesítmény, amit U1-hez viszonyítunk.

Megjegyzés: ugyanabban az esetben a fenti, teljesítményre vonatkoztatott A arány és a feszültségre vonatkoztatott A értéke ugyanaz az érték.

Néhány dB érték teljesítményre és feszültségre

dB teljesítményarány feszültségarány
0 dB 1 1
3 dB 2 [math]\sqrt{2} = 1,414[/math]
6 dB (3+3) 4 (2*2) 2
10 dB 10 [math]\sqrt{10} = 3,16[/math]
100 dB 100 10
colspan=3 ! Negatív értékekre -3 dB 1/2 [math]1/\sqrt{2} = 0,707[/math]
-6 dB (-3 + -3) 1/4 (1/2*1/2) 1/2
-10 dB 0,1 [math]1/\sqrt{10} = 0,316[/math]
-100 dB 1/100 1/10

Néhány jó újjgyakorlat a fentiek alapján:

dB teljesítményarány feszültségarány
6 dB = 3+3 2*2=4 2
7 dB = 10-3 10/2 = 5 2,23 (3.16/1,41)
12 dB = 3+3+3+3 4*4 = 16 4
13 dB = 10+3 10*2 4,47 (3,16*1,414)
20 dB = 10+10 10*10 = 100 10
30 dB = 20+10 100*10 = 1000 31,6
36 dB = 20+10+3+3 100*10*2*2 = 4000 63,2
-36 dB = -20 + -10 + -3 + -3 1/100*1/10*1/2*1/2 = 1/4000 = 0.00025 1/63,2 = 0,0158

dBm (és dBu), dBµV, dBmV

A címben szereplő értékek dB-es arányszámmal ellátott mértékegységek.

  • a dBm alapmértékegysége az a teljesítmény, amely 1 mW-ot jelent 600 ohm-ra viszonyítva. Az Ohm-törvény értelmében [math]U=\sqrt{P*R}=\sqrt{0.001 W *600}=\sqrt{0,6}=0,7746 V[/math]. A dBm származéka a dBu, amely terhelőimpedanciától függetlenül a 0,7746 V-ot veszi alapegységnek. Hang jelszinteknél használatos mértékegység.
  • a dBµV az 1 mikrovoltra vonatkoztatott dB érték. Rádiófrekvencián ezt a mértékegységet használjuk. Alapértelmezetten 50 ohm-os impedanciára vonatkoztatva.
  • a dBmV pedig az 1 mV-ra vonatkoztatott érték - rádiófrekvencián használatos, nagyobb jelek esetén. 1 dBmV = 60 dBµV.
Feszültség dBu dBV dBmV dBµV
1 mV -57,8 dBu -60 dBV 0 dBmV 60 dBµV
10 mV -37,8 dBu -40 dBV 20 dBmV 80 dBµV
100 mV -17,8 dBu -20 dBV 40 dBmV 100 dBµV
1 V 2,2 dBu 0 dBV 60 dBmV 120 dBµV
10 V 22,2 dBu 20 dBV 80 dBmV 140 dBµV
A lap eredeti címe: „https://wiki.ham.hu/index.php?title=Logaritmikus_egységek&oldid=3787”