Logaritmikus egységek

Az embereknek természetes a lineáris ábrázolás. Ez azt jelenti, hogy ami 10-szer messzebb van, azt 10 egység távolságra rajzolom, ami 100 egység távolságra, azt 100 egység távolságra rajzolom.

Műszaki gyakorlatban azonban ez nem mindig praktikus. Talán a legszemléletesebb érv az értéktartomány tágassága. Elegendő arra gondolni, hogy egyetlen grafikonon szeretnénk ábrázolni egy erősítő esetén például egy olyan görbét, amely vízszintes tengelyére a bemenő amplitúdót szeretnénk ábrázolni 1 mikrovolt és 10 millivolt közt, a függőleges tengelyén pedig a kimenetét 1 millivolt és 10 volt közt.

Látható, hogy az ábrán a kis értékek nem lesznek láthatóak, a nagy értékek pedig felesleges részletességgel láthatóak. Ugyanis 1 mV és 10 mV közt jobban érdekel minket a különbség, mint 980 mV és 990 mV közt.

Lineáris és logaritmikus ábrázolás

A fenti problémára a megoldás a logaritmikus ábrázolás. Ekkor az adott tengelyen a 10-szer akkora érték csak 1 egységnyi elmozdulást jelent, a 100-szoros 2 egységnyit, az 1000-szeres 3 egységnyit, ...

Alább látható egy jó hangfrekvenciás erősítő átviteli karakterisztikája. Először lineáris grafikonon ábrázolva.

Bár ebből az ábrából pontosan leolvashatjuk (felesleges pontossággal), hogy 20 kHz-nél hol metszi a -3 dB-s vonalat az átviteli karakterisztika, de a 20 Hz-es alsó frekvenciát nem látjuk, illetve a közbenső viselkedése sem szemléletes a fenti erősítőnek.

Amennyiben logaritmikus skálán ábrázoljuk, az ábrából szakavatottak azonnal látják, hogy 20 Hz és 20 kHz közt jó erősítőhöz méltóan viselkedik.

A logaritmikus léptékű ábrához még annyit érdemes megjegyezni, hogy a dekádon belül az 1/3 és 2/3 távolságban rendre a 2,15 és 4,64 érték található. Gyakorlatban ha egy szélessávú eszköz átviteli karakterisztikát kézzel ábrázoljuk, akkor a dekádot (pl. 1 és 10 közt) kettő vonallal három egyenlő részre osztjuk és a két vonal rendre a 2 és 5 értéket fogja ábrázolni.

A logaritmikus skála használata

A logaritmikus skálát sok okból szeretjük. Egyrészt nincsenek benne olyan bődületes számok, mint a lineáris tér esetén. Ugyanakkor az arányokat szemléletesebben kifejezi, mivel a logaritmikus térben 200 mW és 800 mW közt ugyanakkora a különbség, mint 20 W és 80 W között.

A logaritmikus térben végzett műveletek és lineáris térben gyakorolt hatásuk:

• Két logaritmus érték összeadása a lineáris térbeli szorzásnak felel meg.
• Két logaritmikus érték szorzása, lineáris térben hatványozásnak (szám^X) felel meg.
• Két logaritmikus érték osztása pedig a számlálóban levő szám nevezőedik gyökét adja. Például ha a logaritmikus számot elosztjuk 2-vel, az a lineáris térben a négyzetgyökvonás művelete.
• Ha a logaritmikus érték előjelét megfordítjuk, akkor lineáris térben 10^X alakban felírt szám 10^-X -re változik.

Tehát elmondható, hogy a logaritmikus skála közelebb hozza a nagy értékeket egymáshoz, az értékeknek nem a nagyságukra, hanem arányukra koncentrál. A lineáris térben végzett szorzás és osztás műveletek logaritmikus térben összeadásra illetve kivonásra cserélődnek, a hatványozás és gyökvonás pedig szorzásra illetve osztásra.

Ezen alapult a ma már nem használatos számolóeszköz, a logarléc.

A decibel

<szamolo sor=4 oszlop=25 jobb>Pbe = 1 milli;Pki = 5;;AdB = 10*log10(Pki/Pbe)</szamolo>

A logaritmikus tér legismertebb felhasználási területe a decibel (dB) skála. Az alapegység a bel (B), csak ez ritkán használatos. A bel-t Alexander Graham Bell amerikai mérnökről és feltalálóról nevezték el. Eredetileg telefonkábelek csillapításának jellemzésére használták, de később a használata más területen is elterjedt.

1 B két (általában teljesítmény jellegű) érték 10-szeres arányát jelenti.

A decibel tehát önmagában pusztán egy arányt jelöl. Például a 3 dB teljesítménynövekedés azt jelenti, hogy valaminek a teljesítménye duplájára nőtt. A -3 dB pedig azt, hogy a teljesítmény a viszonyításhoz képest felére csökkent.

Képlettel: A = 10*log(P₂/P₁), ahol A a logaritmikus érték, P₂ a teljesítmény, amit P₁-hez viszonyítunk.

Decibel feszültségre

<szamolo sor=4 oszlop=25 jobb>Ube = 100 milli;Uki = 50 milli;;AdB = 20*log10(Uki/Ube)</szamolo>

Tekintettel arra, hogy [math]P=U*I=U*(U/R)=U^2/R[/math], amiből átrendezéssel [math]U=\sqrt{P*R}[/math] képlet jön ki. (U a feszültség, I az áram, R az ellenállás, P a teljesítmény).

Ez azt jelenti, hogy négyszeres teljesítménynövekedés esetén ugyanazon terhelés kapcsain dupla akkora feszültség jelentkezik, 100-szoros teljesítmény növekedéskor pedig csak 10-szeres feszültség.

Képlettel: A = 20*log(U₂/U₁), ahol A a logaritmikus érték, U₂ a feszültség, amit U₁-hez viszonyítunk.

Megjegyzés: ugyanabban az esetben a fenti, teljesítményre vonatkoztatott A arány és a feszültségre vonatkoztatott A értéke ugyanaz az érték.

Néhány dB érték teljesítményre és feszültségre

dB	teljesítményarány	feszültségarány
0 dB	1	1
3 dB	2	[math]\sqrt{2} = 1,414[/math]
6 dB (3+3)	4 (2*2)	2
10 dB	10	[math]\sqrt{10} = 3,16[/math]
20 dB	100	10
Negatív értékekre
-3 dB	1/2	[math]1/\sqrt{2} = 0,707[/math]
-6 dB (-3 + -3)	1/4 (1/2*1/2)	1/2
-10 dB	0,1	[math]1/\sqrt{10} = 0,316[/math]
-20 dB	1/100	1/10

Néhány jó ujjgyakorlat a fentiek alapján

dB	teljesítményarány	feszültségarány
6 dB = 3+3	2*2=4	2
7 dB = 10-3	10/2 = 5	2,23 (3.16/1,41)
12 dB = 3+3+3+3	4*4 = 16	4
13 dB = 10+3	10*2	4,47 (3,16*1,414)
20 dB = 10+10	10*10 = 100	10
30 dB = 20+10	100*10 = 1000	31,6
36 dB = 20+10+3+3	100*10*2*2 = 4000	63,2
-36 dB = -20 + -10 + -3 + -3	1/100*1/10*1/2*1/2 = 1/4000 = 0.00025	1/63,2 = 0,0158

dBm (és dBu), dBµV, dBmV

A címben szereplő értékek dB-es arányszámmal ellátott mértékegységek.

• a dBm alapmértékegysége az a teljesítmény, amely 1 mW-ot jelent 600 ohm-ra viszonyítva. Az Ohm-törvény értelmében [math]U=\sqrt{P\cdot R}=\sqrt{0,001 ~{\rm W} \cdot 600~\Omega}=\sqrt{0,6}~{\rm V}=0,7746~{\rm V}[/math]. A dBm származéka a dBu, amely terhelőimpedanciától függetlenül a 0,7746 V-ot veszi alapegységnek. Hang jelszinteknél használatos mértékegység.
• a dBµV az 1 mikrovoltra vonatkoztatott dB érték. Rádiófrekvencián ezt a mértékegységet használjuk. Alapértelmezetten 50 ohm-os impedanciára vonatkoztatva. A dBmV pedig az 1 mV-ra vonatkoztatott érték - rádiófrekvencián használatos, nagyobb jelek esetén. 1 dBmV = 60 dBµV. Ugyanígy a dBV-ot is alkalmazhatjuk, ahol az alapérték az 1 V.

Feszültség	dBu	dBV	dBmV	dBµV
1 mV	-57,8 dBu	-60 dBV	0 dBmV	60 dBµV
10 mV	-37,8 dBu	-40 dBV	20 dBmV	80 dBµV
100 mV	-17,8 dBu	-20 dBV	40 dBmV	100 dBµV
1 V	2,2 dBu	0 dBV	60 dBmV	120 dBµV
10 V	22,2 dBu	20 dBV	80 dBmV	140 dBµV

Ahogy létezik dBV (dBmV, dBµV), ugyanúgy használható a dBW (dBmW, dBµW) is. Ez esetben a viszonyítási alap az 1 W (1 mW, 1µW).

Például:

• 5 W a fenti táblázat alapján a 10 W fele, azaz 10-3= 7 dBW.
• 20 W a 10 W duplája, azaz 13 dBW
• 100 W a 10 W 10-szerese, azaz 20 dBW.
• A 0,5 W pedig az 1 W fele, azaz -3 dBW

Gyakorlati felhasználás

1. Példa: Egy 3 dBµV-ot szolgáltató antenna jelét 8 dB veszteségű kábelen hozzuk le, de előtte az antennánál elhelyezünk egy 25 dB-es előerősítőt. Mekkora jelszint lesz a koaxkábel alsó végén?

Megoldás: a csillapítást jelöljük negatív előjellel. Ekkor az eredő erősítés A=-8 dB + 25 dB = 17 dB. A jelszint pedig: U^dB=17+3=20 dBµV-os lesz. Ezt az értéket a decibelskáláról visszaszámolva 10 µV-ot kapunk.

2. Példa: Egy 7 dBW-os rádióvégfokra rákötünk 4 dB csillapítású kábelt, majd 9 dB nyereségű antennára vezetjük. Mekkora ERP-vel fog sugározni az antenna?

Megoldás: P^dB=7 dBW-4 dB + 9 dB = 12 dBW. Hogy kézzelfogható legyen, valós értékre is átszámolhatjuk. 12 dBW = 3+3+3+3 dB, tehát 2*2*2*2 = 16 W. Tehát a kérdéses ERP 16 W-ra jött ki.

Rádió S értékei

A rádiókon az S mérő jelszinteket mutat. De mekkora jelszintnek felel meg az adott S érték?

<szamolo jobb sor=9 oszlop=43>S = 5;plusz_dB = 0;;;U_RH_dBµV = 10+(S-5)*6+plusz_dB;U_RH_volt = 1 mikro*exp10(U_RH_dBµV/20);;U_URH_dBµV = -10+(S-5)*6+plusz_dB;U_URH_volt = 1 mikro*exp10(U_URH_dBµV/20)</szamolo>

S érték	Jelszint RH-n	Jelszint URH-n
S1	-14 dBµV	-34 dBµV
S2	-8 dBµV	-28 dBµV
S3	-2 dBµV	-22 dBµV
S4	4 dBµV	-16 dBµV
S5	10 dBµV	-10 dBµV
S6	16 dBµV	-4 dBµV
S7	22 dBµV	2 dBµV
S8	28 dBµV	8 dBµV
S9	34 dBµV	14 dBµV
S9+20 dB	54 dBµV	34 dBµV
S9+40 dB	74 dBµV	54 dBµV
S9+60 dB	94 dBµV	74 dBµV

Alternatív meghatározás szerint rövidhullámon S9 = 50 μV, URH-n 5 μV, valamint S(n+1) = 2 * S(n). Eme két definíció értékei között kevesebb, mint egy százalék eltérés van. Továbbá dBm-ben kifejezve az S5-ös jelszint = -97 dBm RH-n és -117 dBm URH-n.

A fenti táblázat alapján látható, hogy az S értékek 6 dB-enként vannak felosztva, azaz két S fok között a jelfeszültség kétszeresére nő (ami által a teljesítmény a négyszeresére, ami pedig éppen a 6 dB). Látható továbbá hogy rövidhullámon az S5-ös jelszint 3 mikrovoltos bemenő jelet jelent. URH-n a kisebb zajszint miatt érzékenyebb vevők építhetők, így ezt az értéket az S mérő 20 dB-lel lejjebb, 0,3 mikrovoltnál mutatja.

Ez azt is jelenti, hogy amennyiben 6 dB-lel jobb nyereségű antennával forgalmazunk, az mindössze 1 S értéknyit javít a vételen. Azonban ne felejtsük el, amikor S1-et alig akarja elérni a jel, akkor az a 6 dB igen sokat számít.

Az előző szakasz példáján látszik, hogy 5 W kimenőteljesítmény 7 dBW, amennyiben 6 dB-nyi adóteljesítmény növelést szeretnénk, akkor az 13 dBW, azaz 10*2 = 20 W-tal kell adni.

Rádiófrekvenciás eszközök jelszintjei

Felhasználás	Vételjellemzés	Jelszint
Rádióamatőr RH	S1	-14 dBµV (0,2 µV)
	S5	10 dBµV (3 µV)
	S9	34 dBµV (50 µV)
Rádióamatőr URH	S1	-34 dBµV (0,02 µV)
	S5	-10 dBµV (0,3 µV)
	S9	14 dBµV (5 µV)
CCIR FM rádió	Igen gyenge hang	20-26 dBµV (10-20 µV)
	Hullámzó hang	34-40 dBµV (50-100 µV)
	Stabil mono hang	40-46 dBµV (100-200 µV)
	Jó minőségű, de monó hang	46-52 dBµV (200-400 µV)
	Sztereo URH hang	54 dBµV (500 µV)
Analóg TV	Szinkronjel nyomok	20-26 dBµV (10-20 µV)
	Szinkronizált zajos kép	34-40 dBµV (50-100 µV)
	Kontrasztos, stabil de zajos kép	40-46 dBµV (100-200 µV)
	Zajmentes fekete-fehér vagy zajos színes kép	46-52 dBµV (200-400 µV)
	Zajmentes színes kép	54 dBµV (500 µV)

A hangfrekvenciás átjátszókábel esetén pedig a 0 dBm (0,775 V) a referencia feszültség. Eredete a vezetékes távbeszélőtechnikában alkalmazott 600 ohmon disszipálódó 1 mW teljesítményre vezetődik vissza.

neper

Neper ( John Napier of Merchiston ) egyrészt nem tízes, hanem természetes alapú logaritmust; másrészt nem teljesítmény-, hanem amplitúdó- ( feszültség ) arányt használt. A mértékegység neve neper, jele Np.

[math] A = \ln \frac{U_2}{U_1}\ [Np] [/math]

[math] A = \frac{1}{2} \cdot \ln \frac{P_2}{P_1}\ [Np] [/math]

Logaritmikus értékek nem rádiótechnikai alkalmazásai

• Richter skála - földrengések erőssége
• magnitúdó - csillagok fényessége
• pH - a víz 7-es pH értékű, alatta savas, felette lugos.

Külső hivatkozások

• V_peak, V_RMS, teljesítmény, dBm, dBu, dBV átszámítás