Komplex számábrázolás - Laptörténet

Gg630504: /* Komplex számok */

2013-06-12T22:50:34Z

Komplex számok

2013-06-12T22:47:25Z

Komplex számok exponenciális alakja

2012-05-12T08:34:57Z

két há

2010-07-26T03:46:51Z

+számoló

2006-10-09T19:23:48Z

kategória

2006-07-03T00:03:35Z

Műveletek komplex számokkal

2006-07-02T22:33:26Z

konjugált fogalmat felvittem

2006-07-02T20:47:43Z

formázás

2006-07-02T20:46:22Z

Műveletek exponenciális alakkal

2006-07-02T20:38:29Z

komplex osztás

@@ 23. sor: / 23. sor: @@
 [[Kép:komplex.png]]
 <komplex sor=4 oszlop=20 jobb>Z = 80 - 30j;;Z_abs = abs(Z);Z_szog = atan(Z);</komplex>
-A Z abszolut értéke: <math>|Z|=\sqrt{R^2+X^2}= \sqrt{80^2+(-30)^2}=\sqrt{6400+900}=85,44 \Omega</math>
+A Z abszolút értéke: <math>|Z|=\sqrt{R^2+X^2}= \sqrt{80^2+(-30)^2}=\sqrt{6400+900}=85,44 \Omega</math>
 A fázistolás kiszámítása: <math>\varphi=arctg\frac{X}{R}=arctg\frac{-30}{80}=-20,55</math>˚
-A '''konjugált''' fogalma: egy komplex szám konjugáltjának hívjuk azt a számot, amely valós értéke ugyanaz, a képzetes értéke azonban ellenkező előjelű (R '''+''' jX konjugálja R '''-''' jX).
+A '''konjugált''' fogalma: egy komplex szám konjugáltjának hívjuk azt a számot, amely valós értéke ugyanaz, a képzetes értéke azonban ellenkező előjelű (Z = R '''+''' jX konjugáltja Z<sup>*</sup> = R '''-''' jX).
 == Műveletek komplex számokkal ==

@@ 53. sor: / 53. sor: @@
 <komplex sor=4 oszlop=25 jobb szoveg="Megjegyzés: a számoló fokban fogadja a szöget.">Z_abs = 85,44;Z_szog = -20,556;;Z = Z_abs * exp_j(Z_szog)</komplex>
-Ekkor a fenti Z = 80 + j 30 felírható <math>Z = |Z| \cdot e^{j\varphi} = 85.44 \cdot e^{-j0,0363}</math> formában is, amely annyit jelent, hogy
+Ekkor a fenti Z = 80 - j 30 felírható <math>Z = |Z| \cdot e^{j\varphi} = 85.44 \cdot e^{-j0,0363}</math> formában is, amely annyit jelent, hogy
-* abszolutértéke 85,44 ohm
+* abszolútértéke 85,44 ohm
 * fázisszöge -0,0363 radián. <math>\varphi_{radian}=\frac{\pi}{180}\varphi_{fok}</math>, mivel 360 fok az éppen a <math>2\pi</math> radián.
 * valós értéke <math>R = |Z| * cos(\varphi)</math>

@@ 3. sor: / 3. sor: @@
 == A komplex számok felhasználása ==
-Váltakozóáramú körökben, amelyekben van [[kondenzátor]] és/vagy [[induktivitás]] is, kerülnek elő a komplex számok. Ezen áramkörök esetében amennyiben az alább ismertetett komplex számokkal és komplex aritmetikai szabályokkal számolunk, használható az [[Ohm-törvény]] és a [[Kirchoff-törvények]] is.
+Váltakozóáramú körökben, amelyekben van [[kondenzátor]] és/vagy [[induktivitás]] is, kerülnek elő a komplex számok. Ezen áramkörök esetében amennyiben az alább ismertetett komplex számokkal és komplex aritmetikai szabályokkal számolunk, használható az [[Ohm-törvény]] és a [[Kirchhoff-törvények]] is.
 Az eredményeket azonban szintén komplex számok formájában kapjuk meg. A legvégső számítás során azonban abszolutérték képzésével mégis egy olyan kézzelfogható például feszültség illetve áramértékhez jutunk, amelyet már közvetlenül műszerrel mérhetünk.

@@ 22. sor: / 22. sor: @@
 [[Kép:komplex.png]]
+<komplex sor=4 oszlop=20 jobb>Z = 80 - 30j;;Z_abs = abs(Z);Z_szog = atan(Z);</komplex>
 A Z abszolut értéke: <math>|Z|=\sqrt{R^2+X^2}= \sqrt{80^2+(-30)^2}=\sqrt{6400+900}=85,44 \Omega</math>
@@ 50. sor: / 50. sor: @@
 A számítások megkönnyítése érdekében gyakran áttérünk a komplex alakra.
 Ekkor a fenti Z = 80 + j 30 felírható <math>Z = |Z| \cdot e^{j\varphi} = 85.44 \cdot e^{-j0,0363}</math> formában is, amely annyit jelent, hogy

@@ 68. sor: / 68. sor: @@
 * '''[[Impedanciaillesztés]]''' méretezése esetén a meghajtó impedancia konjugáltja az ideális terhelés impedanciája. Például: Z<sub>generátor</sub> = 50 + j30 ohm esetén egy Z<sub>terhelés</sub> = 50 - j30 ohm adja a legkedvezőbb eredményt, mivel a soros kapcsolás esetén a komplex tagok előjelesen összegződése éppen kiejti a komplex tagokat.
-[[Kategória:Konstruktőri ismeretek]]
 [[Kategória:Műszaki alapfogalmak]]

@@ 41. sor: / 41. sor: @@
-'''Osztás:'''
+'''Osztás:''' osztás során kizárólag valós számmal tudunk osztani, így ha a nevezőben komplex érték van, akkor a számlálót és a nevezőt megszorozzuk a nevező konjugáltjával. Ekkor a nevezőben levó szorzást elvégezve meglátjuk, hogy a képzetes tagot eredményező vegyesszorzatok kiejtik egymást. Azaz
-<math>\frac{R_1+jX_1}{R_2+jX_2}=\frac{(R_1+jX_1) \cdot (R_2-jX_2)}{(R_2+jX_2) \cdot (R_2-jX_2)} = \frac{R_1*R_2+X_1*X_2+j(R_2*X_1-R_1*X_2)}{{R_2}^2+{X_2}^2}</math>
+:<math>\frac{R_1+jX_1}{R_2+jX_2}=\frac{(R_1+jX_1) \cdot (R_2-jX_2)}{(R_2+jX_2) \cdot (R_2-jX_2)} = \frac{R_1*R_2+X_1*X_2+j(R_2*X_1-R_1*X_2)}{{R_2}^2+{X_2}^2}</math>
 És ez így már tényleg könnyen elosztható, mivel a nevező tényleg egy valós szám lesz.

@@ 61. sor: / 61. sor: @@
 * összeadás, kivonás: nehézkes - így ekkor inkább a fenti valós és képzetes értékes megoldást választjuk.
-* szorzás: az abszolutértéket szorozzuk, a fázisszögeket pedig összegezzük.
+* szorzás: az abszolutértéket szorozzuk, a fázisszögeket pedig összegezzük. Tehát <math>|Z_1| \cdot e^{j\varphi_1} \cdot |Z_2| \cdot e^{j\varphi_2} = |Z_1| \cdot |Z_2| \cdot e^{j(\varphi_1+\varphi_2)}</math>
-<math>|Z_1| \cdot e^{j\varphi_1} \cdot |Z_2| \cdot e^{j\varphi_2} = |Z_1| \cdot |Z_2| \cdot e^{j(\varphi_1+\varphi_2)}</math>
+* osztás: az abszolutértékeket osztjuk egymással, az osztandó fázisszügéből pedig kivonjuk az osztó fázisszögét. Tehát <math>\frac{|Z_1| \cdot e^{j\varphi_1}}{|Z_2| \cdot e^{j\varphi_2}} = \frac{|Z_1|}{|Z_2|} \cdot e^{j(\varphi_1-\varphi_2)}</math>
 == Egyéb érdekességek ==

@@ 29. sor: / 29. sor: @@
 == Műveletek komplex számokkal ==
-'''Összeadás''': külön összeadjuk a valós értékeket és külön a képzetes értékeket.
+'''Összeadás:''' külön összeadjuk a valós értékeket és külön a képzetes értékeket.
-'''Kivonás''': ugyanaz mint az összeadás, csak kivonjuk összegzés helyett.
+'''Kivonás:''' ugyanaz mint az összeadás, csak kivonjuk összegzés helyett.
-'''Szorzás''': a j-s tagok egymással való szorzása: j*j=-1 -et eredményez. Ezáltal a
+'''Szorzás:''' a j-s tagok egymással való szorzása: j*j=-1 -et eredményez. Ezáltal a
-'''(R<sub>1</sub>+jX<sub>1</sub>) * (R<sub>2</sub>+jX<sub>2</sub>)''' = R<sub>1</sub>*R<sub>2</sub>+jX<sub>1</sub>*jX<sub>2</sub>+R<sub>1</sub>*jX<sub>2</sub>+jX<sub>1</sub>*R<sub>2</sub> =
+'''(R<sub>1</sub>+jX<sub>1</sub>) * (R<sub>2</sub>+jX<sub>2</sub>)''' = R<sub>1</sub>*R<sub>2</sub>+jX<sub>1</sub>*jX<sub>2</sub>+R<sub>1</sub>*jX<sub>2</sub>+jX<sub>1</sub>*R<sub>2</sub>
-'''R<sub>1</sub>*R<sub>2</sub>  - X<sub>1</sub>*X<sub>2</sub> + j (R<sub>1</sub>*X<sub>2</sub> + R<sub>2</sub>*X<sub>1</sub>)'''
+''' = R<sub>1</sub>*R<sub>2</sub>  - X<sub>1</sub>*X<sub>2</sub> + j (R<sub>1</sub>*X<sub>2</sub> + R<sub>2</sub>*X<sub>1</sub>)'''
 == Komplex számok exponenciális alakja ==