https://wiki.ham.hu/api.php?action=feedcontributions&user=HG8LHS&feedformat=atomHamWiki - Szerkesztő közreműködései [hu]2024-03-28T11:22:12ZSzerkesztő közreműködéseiMediaWiki 1.34.1https://wiki.ham.hu/index.php?title=Fourier_transzform%C3%A1ci%C3%B3&diff=10185Fourier transzformáció2009-02-02T19:39:42Z<p>HG8LHS: Javítva: e^(előjel) és az együttható transzformációnál (ld. unitary fourier transform az angol és a német wikipedián)</p>
<hr />
<div>Egy időben változó [[A jel matematikai leírása|jel]] előállítható különböző freknvenciájú, fázisú és amplitúdójú jelek összegeként. A '''Fourier-transzformáció''' az a művelet, amely egy adott jelhez megadja ezt a felbontást. A Fourier-transzformáció inverze szolgál arra, hogy a frekvencia spektrumból (''frekvenciatartomány'') megadja az időfüggő jelet (''időtartomány'').<br />
<br />
A Fourier-transzformáció ismerete alapvető fontosságú a lineáris rendszerek tulajdonságainak vizsgálatához. Mivel az áramkörök jelentős része frekvenciafüggő jelleget mutat, ezért a frekvenciatartománybeli viselkedés sokszor könnyebben leírható, mint az időtartománybeli.<br />
<br />
== A Fourier-transzformáció felhasználása ==<br />
<br />
Egy fontos alkalmazás különféle transzformációk elvégezése a jelen.<br />
<br />
'''Például:''' egy négyszögjelből lehet-e kis torzítású színuszjelet csinálni?<br />
<br />
Igen. A négyszögjel Fourier-sora <math>f(t)=\frac{4}{\pi}\Big( \sin(\omega t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega t)+\frac{1}{5}\sin(5\omega t)+\frac{1}{7}\sin(7\omega t)+\dots \Big)</math><br />
<br />
<gnuplot><br />
set output 'negyszog_fourier_sor.png'<br />
set size 1.2, 0.4<br />
set yrange [-1.5:1.5]<br />
set xrange [0:20]<br />
set xlabel "Ido"<br />
set ylabel "Amplitudo"<br />
set samples 300<br />
<br />
PI=3.14159<br />
plot 4/PI*(sin(x)) title "4/PI*(sin(t))", 4/PI*(sin(x)+sin(3*x)/3) title "4/PI*(sin(t)+sin(3*t)/3)", 4/PI*(sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5) title "4/PI*(sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5)"<br />
</gnuplot><br />
<br />
A fenti Fourier sorból és a mellékelt ábrából látható, amennyiben beépítünk a jelútba egy olyan aluláteresztő szűrőt, amely a négyszögjel alapfrekvenciájának 3-szorosát már nem engedi át, akkor színuszjelet kapunk.<br />
<br />
További érdekes alkalmazása a szűrések és kiemelések. Azaz például egy hangfrekvenciás jelből egy sípolást el szeretnénk nyomni, vagy pedig egy bizonyos frekvenciatartományt fel szeretnénk hangosítani.<br />
<br />
Rádiófrekvenciás jel esetén a Fourier transzformáció legfontosabb alkalmazása az [[OFDM jel demodulálása]] során kerül előtérbe, ahol a sok vivőfrekvenciát nem sok digitális szűrővel választjuk szét, hanem egyetlen Fourier transzformációval.<br />
<br />
== Folytonos Fourier transzformáció ==<br />
<br />
Egy jel Fourier transzformáltja az a jel, amin ha elvégezzük az alább látható inverz-Fourier transzformációt, visszakapjuk a jelet:<br />
<br />
<math>f \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F\left(j\omega\right) e^{j\omega t}\,d\omega</math><br />
<br />
Tehát a Fourier transzformáció:<br />
<br />
<math>F \left( j\omega \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f\left( t \right) e^{-j\omega t}\,dt</math><br />
<br />
Ha már ilyen szép integráloknál tartunk, fontos megemliteni, hogy ez csak akkor végezhető el, ha a jel abszolút vagy négyzetesen integrálható. Tehát véges az energiatartalma.<br />
Megjegyzés: nem véges energiatartalmú jeleknek is létezhet Fourier transzformáltja, de azt nem ezzel az integrállal kell előállitani.<br />
<br />
A fenti összefüggésnél a <math>e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j \cdot \sin(\omega t)</math>, az <math>|F\left(j \omega\right)|</math> az amplitudóspektrum, az <math>arc(F(j\omega))</math> pedig a fázisspektrum.<br />
<br />
A Fourier transzformált előállitására egy kellemesebb módszer azt egy táblázatból kikeresni. Ebben az [http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform angol nyelvű wikipedia egy cikke] nagyon hasznos segitségnek bizonyult. Ugyanitt vannak táblázatba foglalva a Fourier transzformáció azonosságai.<br />
<br />
<br />
<!-- Háreszigorlat, fincsi, mi? --><br />
<br />
== Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT) ==<br />
<br />
Az előző részben ismertetett folytonos Fourier transzformáció szép, azonban a gyakorlatban, mivel diszkrét idejű jelekkel dolgozunk, a transzformációt is ennek megfelelően egyszerűsítjük. Az alábbi összefüggéssel tehát az elemi színuszos komponensek számíthatóak ki.<br />
<br />
<math>X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-j 2 \pi \frac{k}{N} n}</math><br />
<br />
A jelet pedig visszaállíthatjuk az egyes színuszos oszcillátorok jeleinek összegeként:<br />
<br />
<math>x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi \frac{k}{N} n} \quad \quad n = 0, 1, \dots, N-1 \,</math><br />
<br />
== Fast Fourier Transformáció (FFT) ==<br />
<br />
A gyors Fourier transzformáció eredménye egyezik a fenti DFT eredményével, azonban a művelethez szükséges idő nem N<sup>2</sup>, hanem N*log(N), ami például egy 1024 pontos transzformációnál 300-szor gyorsabb számítást jelent.<br />
<br />
Az FFT egyetlen korlátja, hogy a pontszám nem lehet tetszőleges, például nem lehet 1000 pontos, csak 2 valamely hatványa lehet. Azonban az említett sebességnövekedés miatt ezt a kompromisszumot elfogadjuk.<br />
<br />
== FFT megvalósítása ==<br />
<br />
FFT-t kétféleképpen csinálhatunk. Vagy letöltjük a http://www.fftw.org -ról az FFT függvénykönyvtárat, vagy saját magunk írunk egy FFT algoritmust.<br />
<br />
Az alábbiakban egy rádióamatőr célokra igen jól felhasználható FFT számító példa kerül ismertetésre.<br />
<br />
-- folyt köv --<br />
<br />
<br />
[[Kategória:Digitális jelfeldolgozás]]</div>HG8LHS